Question

如图，抛物线y=x²-4x+5顶点为M，平移直线y=x交抛物线于点H、K，若S_△MHK=3，求平移后直线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：几何变换

分析：设平移后的直线解析式为y=x+b，利用配方法确定对称轴为直线x=2，顶点M的坐标为（2，1），直线y=x+b与直线x=2交于P点，则P（2，2+b）；设H、K的横坐标分别为a，b，则a、b为方程x²-4x+5=x+b的解，利用根与系数的关系得到b-a=

4b+5

，把△MHK的面积分为△PMK和△PMH的面积和，它们的底边都是PM，高的和为b-a，则S_△MHK=

1

2

•PM•（b-a）=3，所以（b+1）•

4b+5

=6，解得b=1，于是得到平移后的直线解析式为y=x+1．

解答：解：设平移后的直线解析式为y=x+b，
y=x²-4x+5=（x-2）²+1，
所以抛物线的对称轴为直线x=2，顶点M的坐标为（2，1），
直线y=x+b与直线x=2交于P点，则P（2，2+b），
设H、K的横坐标分别为a，b，则a、b为方程x²-4x+5=x+b的解，
所以b-a=

(b+a)2-4ab

=

52-4(5-b)

=

4b+5

，
所以S_△MHK=

1

2

•PM•（b-a）=3，
即（b+1）•

4b+5

=6，
解得b=1．
所以平移后的直线解析式为y=x+1．

点评：本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．