Question

抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的第二象限内是否存在点P，使得△PBC的面积等于△OBC的一半？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的对称轴上是否存在一点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（1，0）、B（-3，0）两点代入抛物线y=-x²+bx+c得

0=-1+b+c 0=-9-3b+c

，再求出方程组的解即可，
（2）设P点（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0），根据S_△BPC=S_△BPE+S_{直角梯形PEOC}-S_△BOC得出S_△BPC=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，再根据△PBC的面积等于△OBC的一半，得出-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

=

1

2

×

9

2

，再解方程即可，
（3）若∠CBQ=90°，设BQ与y轴交与点M，求出BM与抛物线的交点，得出点Q₁的坐标，若∠BCQ=90°，设CQ与x轴交与点N，求出BN与抛物线的交点，得出点Q₂的坐标，若∠BQD=90°，先求出以BC为直径的方程是（x+

3

2

）²+（y-

3

2

）²=

9

2

，由求出

(x+ 3 2 )2+(y- 3 2 )2= 9 2 y=-x2-2x+3

的解即可得出点Q₃和点Q₄的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，
∴

0=-1+b+c 0=-9-3b+c

解得：

b=-2 c=3

∴该抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）如图：设P点（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0）
则S_△BPC=S_△BPE+S_{直角梯形PEOC}-S_△BOC
=

1

2

BE•PE+

1

2

OE（PE+OC）-

9

2

=

1

2

（x+3）（-x²-2x+3）+

1

2

（-x）（-x²-2x+3+3）-

9

2

=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
若△PBC的面积等于△OBC的一半，
则-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

=

1

2

×

9

2

解得：x₁=

3 -3

2

，x₂=

- 3 -3

2

，
当x=

3 -3

2

时，y=

9

4

＜3，不合题意舍去，
当x=

- 3 -3

2

时，y=

9

4

，
则P点的坐标是（

- 3 -3

2

，

9

4

）；

（3）如图：若∠CBQ=90°，设BQ与y轴交与点M，
则BM的解析式为：y=-x-3，
由

y=-x-3 y=-x2-2x+3

得；

x=-3 y=0

（舍去）或

x=2 y=-5

，
则点Q₁的坐标是：（2，-5），
若∠BCQ=90°，设CQ与x轴交与点N，
则CN的解析式为：y=-x+3，
由

y=-x+3 y=-x2-2x+3

得；

x=0 y=3

（舍去）或

x=-1 y=4

，
则点Q₂的坐标是：（-1，4），
若∠BQD=90°，
∵以BC为直径的方程是（x+

3

2

）²+（y-

3

2

）²=

9

2

，
由

(x+ 3 2 )2+(y- 3 2 )2= 9 2 y=-x2-2x+3

得；

x1=-3 y1=0

（舍去），

x2=0 y2=3

（舍去），

x3= -1+ 5 2 y3= 5- 5 2

，

x4= -1- 5 2 y4= 5+ 5 2

，
∴若∠BQD=90°，点Q₃的坐标是（

-1+ 5

2

，

5- 5

2

）或点Q₄的坐标是（

-1- 5

2

，

5+ 5

2

）．

点评：此题考查了二次函数的综合应用，用到的知识点是三角形、梯形的面积公式、一次函数、二次函数的图象和性质，关键是根据题意画出图形，把不合题意得解舍去，注意数形结合思想和分类讨论思想的应用．