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【题目】如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P的个数是(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

【答案】C
【解析】解:∵AB⊥BC, ∴∠B=90°.
∵AD∥BC,
∴∠A=180°﹣∠B=90°,
∴∠PAD=∠PBC=90°.AB=8,AD=3,BC=4,
设AP的长为x,则BP长为8﹣x.
若AB边上存在P点,使△PAD与△PBC相似,那么分两种情况:①若△APD∽△BPC,则AP:BP=AD:BC,即x:(8﹣x)=3:4,解得x= ;②若△APD∽△BCP,则AP:BC=AD:BP,即x:4=3:(8﹣x),解得x=2或x=6.
∴满足条件的点P的个数是3个,
故选:C.

由于∠PAD=∠PBC=90°,故要使△PAD与△PBC相似,分两种情况讨论:①△APD∽△BPC,②△APD∽△BCP,这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长,即可得到P点的个数.

练习册系列答案
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【题目】平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣1)三点,D(1,m)是一个动点,当△ACD的周长最小时,△ABD的面积为(
A.
B.
C.
D.

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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后,再把△ABC沿射线平移至△FEG,DE、FG相交于点H.
(1)判断线段DE、FG的位置关系,并说明理由;
(2)连结CG,求证:四边形CBEG是正方形.

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【题目】如图①,在平面直角坐标系中,一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上,坐标为(0,﹣1),另一顶点B坐标为(﹣2,0),已知二次函数y= x2+bx+c的图象经过B、C两点.现将一把直尺放置在直角坐标系中,使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B,直尺沿x轴正方向平移,当A′D′与y轴重合时运动停止.

(1)求点C的坐标及二次函数的关系式;
(2)若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M,交抛物线于点N,求线段MN长度的最大值;
(3)如图②,设点P为直尺的边A′D′上的任一点,连接PA、PB、PC,Q为BC的中点,试探究:在直尺平移的过程中,当PQ= 时,线段PA、PB、PC之间的数量关系.请直接写出结论,并指出相应的点P与抛物线的位置关系.
(说明:点与抛物线的位置关系可分为三类,例如,图②中,点A在抛物线内,点C在抛物线上,点D′在抛物线外.)

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【题目】如图,轮船从点A处出发,先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处,再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处.

(1)求点C与点A的距离(精确到1km);
(2)确定点C相对于点A的方向.
(参考数据: ≈1.414, ≈1.732)

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【题目】如图是两个全等的含30°角的直角三角形.
(1)将其相等边拼在一起,组成一个没有重叠部分的平面图形,请你画出所有不同的拼接平面图形的示意图;
(2)若将(1)中平面图形分别印制在质地、形状、大小完全相同的卡片上,洗匀后从中随机抽取一张,求抽取的卡片上平面图形为轴对称图形的概率.

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【题目】如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点C,∠A=30°,给出下面3个结论:①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC,其中正确结论的个数是(
A.3
B.2
C.1
D.0

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【题目】图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图,已知踏板CD长为1.6m,CD与地面DE的夹角∠CDE为12°,支架AC长为0.8m,∠ACD为80°,求跑步机手柄的一端A的高度h(精确到0.1m). (参考数据:sin12°=cos78°≈0.21,sin68°=cos22°≈0.93,tan68°≈2.48)

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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的边AD在x轴上,点C在y轴的负半轴上,直线BC∥AD,且BC=3,OD=2,将经过A、B两点的直线l:y=﹣2x﹣10向右平移,平移后的直线与x轴交于点E,与直线BC交于点F,设AE的长为t(t≥0).

(1)四边形ABCD的面积为
(2)设四边形ABCD被直线l扫过的面积(阴影部分)为S,请直接写出S关于t的函数解析式;
(3)当t=2时,直线EF上有一动点,作PM⊥直线BC于点M,交x轴于点N,将△PMF沿直线EF折叠得到△PTF,探究:是否存在点P,使点T恰好落在坐标轴上?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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