Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y= x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．

（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ= 时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）

Answer 1

【答案】
（1）

如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，

∵△CDA≌△AOB，

∴AD=BO=2，CD=AO=1，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（﹣1，﹣3）．

将B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3）代入抛物线y= x2+bx+c，

解得 b= ，c=﹣3，

∴抛物线的解析式为y= x2+ x﹣3．

（2）

设lBC：y=kx+b，

∵B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3），

∴ ，

解得 ，

∴lBC：y=﹣3x﹣6，

设M（xM，﹣3xM﹣6），N（xN， xN2+ xN﹣3），

∵xM=xN（记为x），yM≥yN，

∴线段MN长度=﹣3x﹣6﹣（ x2+ x﹣3）=﹣ （x+ ）2+ ，（﹣2≤x≤﹣1），

∴当x=﹣ 时，线段MN长度为最大值 ．

（3）

答：P在抛物线外时，BP+CP= AP；P在抛物线上时，BP+CP= AP；P在抛物线内，PC﹣PB= PA．

分析如下：

如图2，以Q点为圆心， 为半径作⊙Q，

∵OB=2，OA=1，

∴AC=AB= = ，

∴BC= = ，

∴BQ=CQ= ，

∵∠BAC=90°，

∴点B、A、C都在⊙Q上．

①P在抛物线外，

如图3，圆Q与BD′的交点即为点P，连接PB，PC，PA，延长PC交y轴于点D

∵BC为直径，

∴∠BPC=90°

∵BD′与y轴平行

∴∠ADC=90°，且D点为抛物线与y轴交点

∴PD∥x轴

易得PC=1，PB=3，PA=2

∴BP+CP= AP．

②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，

∵AC=AB= ，

∴AP= ，

∵BP+CP=BC= ，

∴BP+CP= AP．

③P在抛物线内，有两种情况，如图4，5，

如图4，在PC上取BP=PT，

∵BC为直径，

∴∠BPC=90°

∴△BPT为等腰直角三角形

∴∠PBT=45°=∠1+∠2

∵∠ABC=∠3+∠2=45°

∴∠1=∠3

∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）

∴△BPA∽△BTC

∴

∵PC=PT+CT

∴PC=PT+ PA=PB+ PA

∴PC﹣PB= PA

同理，如图5，也可得PB﹣PC= PA．

【解析】（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA≌△AOB，所以C点坐标易知．进而抛物线解析式易得．（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．（3）计算易得，BC= ，因为Q为BC的中点，PQ= 恰为半径，则易作圆，P点必在圆上．分三种情况进行解答．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．