Question

12． 如图，有一直角三角形纸片ACB，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，点D是AC边上一动点．过点D沿直线DE方向折叠三角形纸片，使点A落在射线AB上的点F处，当以点F、B、C为顶点的三角形为等腰三角形时，AD的长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质可知∠B=60°，所以当以点F、B、C为顶点的三角形为等腰三角形时，则△FBC是等边三角形，设AE=x，则EF=x，BF=4-2x，若BF=BC，则4-2x=2，解方程即可．

解答 解：由翻折变换的性质得：AE=EF，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，
∴AB=4，∠B=60°，
设AE=EF=x，则BF=4-2x；
当以点F、B、C为顶点的三角形为等腰三角形时，则△FBC是等边三角形，
若BF=BC，则4-2x=2，
解得：x=1，
∵∠A=30°，
∴AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数；本题的关键是发现△FBC是等边三角形，不需分类讨论．