Question

2．“十一”期间，某商场进货单价为每件50元的T恤衫按60元售出，就能卖出400件，已知每件T恤衫涨价1元，其销售量就减少10件，规定试销时的销售单价不低于成本价，且获利又不得高于40%．
（1）求销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润（总利润=总销售额-总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，将x=60，y=400；x=70，y=300分别代入求出k、b；
（2）根据题目意思，表示出销售额和成本，然后表示出总利润P=销售额-成本；
（3）函数表达式整理成顶点式，根据x的取值范围求出最大利润．

解答 解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
∵根据题意函数图象经过点（60，400）和（70，300），
∴$\left\{\begin{array}{l}{400=60k+b}\\{300=70k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=1000}\end{array}\right.$．
∴y=-10x+1000（50≤x≤70）；
（2）P=（x-50）（-10x+1000）=-10x²+1500x-50000
自变量取值范围：50≤x≤70．
（3）P=-10x²+1500x-50000=-10（x-75）²+6000
∵a=-10＜0．
∴函数P=-10x²+1500x-50000图象开口向下，对称轴是直线x=75．
∵50≤x≤70在对称轴直线x=75的左边，此时y随x的增大而增大，
∴当x=70时，P_最大值=6000．

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、一次函数和二次函数在实际问题中的应用，做题时一定要弄清题意，理清关系，综合性较强，体现了数学与实际生活的密切联系．