Question

9．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（-2，0），D（-8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．
（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B（0，4），C（-2，0），D（-8，0）代入二次函数的解析式即可得到结果；
（2）由y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{2}$x+4=$\frac{1}{4}$（x+5）²-$\frac{9}{4}$，得到顶点坐标E（-5，-$\frac{9}{4}$），求得直线CE的函数解析式y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，在y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$中，令x=0，y=$\frac{3}{2}$，得到G（0，$\frac{3}{2}$），如图1，连接AB，AC，AG，得BG=OB-OG=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，CG=$\frac{5}{2}$，得到BG=CG，AB=AC，证得△ABG≌△ACG，得到∠ACG=∠ABG，由于⊙A与y轴相切于点B（0，4），于是得到∠ABG=90°，即可求得结论；
（3）如图2，连接BD，BF，DF，设F（t，$\frac{1}{4}$t²+$\frac{5}{2}$t+4），过F作FN∥y轴交BD于点N，求得直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4，得到点N的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t+4），于是得到FN=$\frac{1}{2}$t+4-（$\frac{1}{4}$t²+$\frac{5}{2}$t+4）=-$\frac{1}{4}$t²-2t，推出S_△DBF=S_△DNF+S_△BNF=$\frac{1}{2}$OD•FN=$\frac{1}{2}×8×$（-$\frac{1}{4}$t²-2t）=-t²-8t=-（t+4）²+16，即可得到结论．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
把B（0，4），C（-2，0），D（-8，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4=c}\\{0=4a-2b+c}\\{0=64a-8b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=\frac{5}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{2}$x+4；

（2）∵y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{2}$x+4=$\frac{1}{4}$（x+5）²-$\frac{9}{4}$，
∴E（-5，-$\frac{9}{4}$），
设直线CE的函数解析式为y=mx+n，
直线CE与y轴交于点G，则$\left\{\begin{array}{l}{0=-2m+n}\\{-\frac{9}{4}=-5m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
在y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$中，令x=0，y=$\frac{3}{2}$，
∴G（0，$\frac{3}{2}$），
如图1，连接AB，AC，AG，
则BG=OB-OG=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
CG=$\sqrt{O{C}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴BG=CG，AB=AC，
在△ABG与△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{BG=CG}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ACG，
∴∠ACG=∠ABG，
∵⊙A与y轴相切于点B（0，4），
∴∠ABG=90°，
∴∠ACG=∠ABG=90°
∵点C在⊙A上，
∴直线CE与⊙A相切；

（3）存在点F，使△BDF面积最大，
如图2连接BD，BF，DF，设F（t，$\frac{1}{4}$t²+$\frac{5}{2}$t+4），
过F作FN∥y轴交BD于点N，
设直线BD的解析式为y=kx+d，则$\left\{\begin{array}{l}{4=d}\\{0=-8k+d}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{d=4}\end{array}\right.$．
∴直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4，
∴点N的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t+4），
∴FN=$\frac{1}{2}$t+4-（$\frac{1}{4}$t²+$\frac{5}{2}$t+4）=-$\frac{1}{4}$t²-2t，
∴S_△DBF=S_△DNF+S_△BNF=$\frac{1}{2}$OD•FN=$\frac{1}{2}×8×$（-$\frac{1}{4}$t²-2t）=-t²-8t=-（t+4）²+16，
∴当t=-4时，S_△BDF最大，最大值是16，
当t=-4时，$\frac{1}{4}$t²+$\frac{5}{2}$t+4=-2，
∴F（-4，-2）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，三角形面积的求法，勾股定理，根据题意正确的画出图形是解题的关键．