Question

19．已知：两个有一个公共顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，求证：BM=EM；
（2）如图2，将△ABC沿EC作轴对称变化，为如图2，且CB与CE在同一直线上，若CB=a，CE=2a，
①求证：MB∥CF；②求BM的长；
（3）如图3，当∠BCE=45°时，试探究BM与BE的关系．

Answer 1

分析 （1）延长BM交EF的延长线于点G，首先证明△FGM≌△ABM，进而求出答案；
（2）①由题意得出AB=BN，AM=MF，进而利用三角形中位线定理得出答案；
②利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理得出NF的长，进而求出BM的长；
（3）延长BM交CF于H，连结EB、EH，证明△ABM≌△CHM（ASA），△BCE≌△HFE（SAS），利用全等三角形的性质得出EM⊥BM，BM=ME．

解答 （1）证明：如图1，延长BM交EF的延长线于点G，
∵∠ABC=∠FEC=90°，
∴AB∥FG，
∴∠G=∠1，
∵M为AF的中点，
∴AM=FM，
在△FGM和△ABM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠1}\\{∠3=∠2}\\{FM=AM}\end{array}\right.$，
∴△FGM≌△ABM（AAS）
∴BM=MG，
∵∠BEG=90°，
∴EM=BM；

（2）①证明：如图2，延长AB交CF于N，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠1=45°=∠5，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC于B，
即AN⊥CE于B，
∴∠3=∠4=90°，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠2=45°，
∴∠6=45°，
即∠2=∠6，
∴BC=BN=AB，
∵M为AF中点，
∴AM=MF，
且AB=BN，
∴BM∥NF，
即MB∥CF；

②解：∵∠CBN=90°
CB=BN=a，
∴CN=$\sqrt{2}$a，
又∵CE=EF=2a，
∠CEF=90°，
∴CF=2$\sqrt{2}$a，
∴NF=CF-CN=$\sqrt{2}$a，
∵AM=MF，
AB=BN，
∴BM=$\frac{1}{2}$NF，
∴BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a；

（3）解：BM=ME，BM⊥ME
理由：如图3，延长BM交CF于H，连结EB、EH，
∵∠BCE=45°∠ECF=45°，
∴∠BCE+∠ECF=90°，
即∠BCF=90°=∠ABC，
∴AB∥CF，
∴∠3=∠4，
在△ABM和△CHM中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{AM=MF}\\{∠5=∠6}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CHM（ASA），
∴AB=FH=BC，
BM=HM，
又在△CBE和△FHE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}BC=HF\\∠BCE=∠HFE=45°\\ CE=FE\end{array}\right.$
∴△BCE≌△HFE（SAS），
∴EB=EH，∠1=∠2，
∴∠1+∠CEH=∠CEH+∠2，
∴∠BEH=∠CEF=90°，
且∵EB=EH，
BM=MH，
∴EM⊥BM，
而Rt△BEH中，
∵BM=HM，
∴EM=$\frac{1}{2}$BH=BM，
即BM=ME，BM⊥ME．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等的三角形是解题关键．