Question

14．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是①②③④⑤．（填序号即可）
①AF=AG=$\frac{1}{2}$AB；②MD=ME；③四边形AFMG是菱形；④整个图形是轴对称图形；⑤MD⊥ME．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系和位置关系？请给出证明过程；

●类比探索：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：等腰直角三角形．

Answer 1

分析 操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形斜边上的中线性质以及四点共圆即可得出结论；
数学思考：取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质以及各个角之间的关系即可得出结论；
类比探索：取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论．

解答 操作发现：
解：∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90° 
∵在△ADB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACE}\\{∠ADB=∠AEC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD=CE，AD=AE，
∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴AF=BF=DF=$\frac{1}{2}$AB，AG=GC=GE=$\frac{1}{2}$AC． 
∵AB=AC，
∴AF=AG=$\frac{1}{2}$ AB，故①正确； 
∵M是BC的中点，
∴BM=CM． 
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，
即∠DBM=∠ECM． 
在△DBM和△ECM中，
 $\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠DBM=∠ECM}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD=ME．故②正确；
连接AM、FM、GM，如图1所示：
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
又∵AF=BF，AG=CG，
∴FM=$\frac{1}{2}$AB=AF，GM=$\frac{1}{2}$AC=AG，
∴AF=FM=GM=AG，
∴四边形AFMG是菱形，
故③正确； 
根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，
∴整个图形是轴对称图形，故④正确． 
∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
∵∠ADB=90°，
∴四边形ADBM四点共圆，
∴∠AMD=∠ABD=45°． 
∵AM是对称轴，
∴∠AME=∠AMD=45°，
∴∠DME=90°，
∴MD⊥ME，故⑤正确，
数学思考：
解：MD=ME，MD⊥ME；理由如下：
取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，如图2所示：
∴AF=$\frac{1}{2}$AB，AG=$\frac{1}{2}$AC． 
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB，EG⊥AC，EG=$\frac{1}{2}$ AC，
∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG． 
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM． 
∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM=∠MGE． 
∵在△DFM和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{MF=GE}\\{∠DFM=∠MGE}\\{DF=MG}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME，∠FMD=∠GEM，
∴∠DME=∠FMG-（∠FMD+∠GME）=∠MGC-（∠GEM+∠GME），
∵EG⊥AC，
∴∠EGC=90°，
∵∠MGC-（∠GEM+∠GME）+∠EGC=180°，
∴∠DME=90°，
∴DM⊥EM；
类比探索：
解：取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，如图3所示：
∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
∴MF∥AC，MF=$\frac{1}{2}$ AC，MG∥AB，MG=$\frac{1}{2}$ AB，
∴四边形MFAG是平行四边形，
∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM． 
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90° 
∴MF=EG，DF=MG，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE，
即∠DFM=∠MGE． 
在△DFM和△MGE中，
 $\left\{\begin{array}{l}{MF=EG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{DF=MG}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME，∠MDF=∠EMG． 
∵MG∥AB，
∴∠MHD=∠BFD=90°，
∴∠HMD+∠MDF=90°，
∴∠HMD+∠EMG=90°，
即∠DME=90°，
∴△DME为等腰直角三角形．

点评 本题是四边形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的中位线的性质、直角三角形的斜边上的中线的性质、平行四边形的判定及性质等知识；本题难度较大，综合性强，需要通过作辅助线证明三角形全等、证明平行四边形、四点共圆才能得出结论．