Question

如图1，已知双曲线y=

k

x

（k＞0）与直线y=k₁x交于A、B两点，点A的坐标为（6，2）．试解答下列问题：

（1）k=

 

，k₁=

 

，点B的坐标为

 

；
（2）如图2，过原点O作另一条直线y=3x交双曲线y=

k

x

（k＞0）于P、Q两点，点P在第一象限，判定四边形APBQ的形状，并证明；
（3）如图3，若PB交y轴于点C，在直线y=-x上是否存在一点T，使得|TQ-TC|的值最大？若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法即可求得k和k1的值，根据反比例函数的图象是中心对称图形，即可求得B的坐标；
（2）根据反比例函数的图象是中心对称图形，可以得到OA=OB，OP=OQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求解；
（3）首先求得P和Q的坐标，以及C的坐标，点C关于y=-x的对称点C'，则|TQ-TC|的值=QC'．

解答：解：（1）把A（6，2）代入y=

k

x

得：k=12；
把A（6，2）代入y=k₁x得：6k1=2，解得：k₁=

1

3

；
根据反比例函数的中心对称性可得B的坐标是（-6，-2）；
（2）∵OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ是平行四边形；
（3）根据题意得：

y=3x y= 12 x

，
解得：

x=2 y=6

或

x=-2 y=-6

，
则P的坐标是（2，6），Q的坐标是（-2，-6）．
设直线PB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：

-6k+b=-2 2k+b=6

，
解得：

k=1 b=4

，
则直线PB的解析式是y=x+4．
在解析式中，令x=0，解得y=4，
则C的坐标是（0，4）．
点C关于y=-x的对称点C'是（-4，0）．
则|TQ-TC|的值=QC'=

(-2+4)2+(-6)2

=2

10

．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式以及平行四边形的判定，正确理解反比例函数的图象是中心对称图形是关键．