Question

如图，在△ABC中，∠A=45°，边AC的垂直平分线交边AB于E点，交CB的延长线于点F，垂足为点D．如果AB=AC，求证：EC=EF．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC=∠ACB=67.5°，根据垂直平分线的性质得出AE=CE，推出∠ACE=∠A=45°，求出∠ECB=22.5°，求出∠FDB=∠AED=45°，根据三角形外角性质得出∠F=∠ABC-∠FDB=22.5°，求出∠F=∠ECB即可．

解答：证明：∵∠A=45°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=

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（180°-∠A）=67.5°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A=45°，
∴∠ECB=67.5°-45°=22.5°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴∠EDA=90°，
∵∠A=45°，
∴∠AED=45°，
∴∠FDB=∠AED=45°，
∵∠ABC=67.5°，
∴∠F=∠ABC-∠FDB=22.5°，
∴∠F=∠ECB，
∴EC=EF．

点评：本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．