Question

如图，已知BC为半圆O的直径，

AB

=

AF

，AC与BF交于点M，过A作AD⊥BC于D，交BF于E．若A、F把半圆三等分，BC=12，求AE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：由A，F把半圆三等分，得到∠ACB=∠CBF=30°，而BC=12，得到AB=6，再根据∠BAD=∠ACB，得到∠BAD=30°，所以BD=3，AD=3

3

，在Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，得到DE=

3

，然后根据AE=AD-DE即可求出AE．

解答：解：∵A，F把半圆三等分，
∴∠ACB=∠CBF=∠ABF=30°，
∴∠BAD=30°，
在Rt△ABC中，BC=12，
所以AB=

1

2

BC=6，
在Rt△ABD中，AB=6，
所以BD=

1

2

AB=3，AD=

3

BD=3

3

，
Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，
∴DE=

3

3

=

3

，
∴AE=AD-DE=3

3

-

3

=2

3

．

点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了含30度的直角三角形三边的关系为1：

3

：2．