Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，DE=2

3

，∠DPA=45°，求OP的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：连接OD，设⊙O的半径为R，根据垂径定理求出DC，根据勾股定理得出关于R的方程，求出R，求出OC=1，求出DC=CP=

3

，即可求出答案．

解答：解：连接OD，
设⊙O的半径为R，
∵弦DE垂直平分半径OA，
∴OC=AC=

1

2

R，
∵DE⊥AB，AB为直径，
∴DC=CE=

1

2

DE=

1

2

×2

3

=

3

，
在Rt△DCO中，由勾股定理得：OD²=DC²+OC²，
R²=（

1

2

R）²+（

3

）²，
解得：R=2，
∴OC=

1

2

R=1，
∵DE⊥AB，
∴∠DCF=90°，
∵∠DPA=45°，
∴∠CDP=45°=∠DPA，
∴CP=DC=

3

，
∴OP=CP-OC=

3

-1．

点评：本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出OC和CP的长，题目比较好，难度适中．