Question

【题目】如图，已知∠BAC＝65°，D为∠BAC内部一点，过D作DB⊥AB于B，DC⊥AC于C，设点E、点F分别为AB、AC上的动点，当△DEF的周长最小时，∠EDF的度数为_____．

Answer 1

【答案】50°

【解析】

先作点D关于AB和AC的对称点M、N，连接MN交AB和AC于点E、F，此时△DEF的周长最小，再根据四边形内角和与等腰三角形的性质即可求解．

解：如图所示：

延长DB和DC至M和N，使MB＝DB，NC＝DC，

连接MN交AB、AC于点E、F，

连接DE、DF，此时△DEF的周长最小．

∵DB⊥AB，DC⊥AC，

∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAC＝65°，

∴∠BDC＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，

∴∠M+∠N＝180°﹣115°＝65°

根据对称性质可知：

DE＝ME，DF＝NF，

∴∠EDM＝∠M，∠FDN＝∠N，

∴∠EDM+∠FDN＝65°，

∴∠EDF＝∠BDC﹣（∠EDM+∠FDN）＝115°﹣65°＝50°．

故答案为50°．