【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；
（3）在抛物线y=-x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；；（2）△PFG周长的最大值为：
； （3）M1（-2，3），M2（
，
），M3（
，
）．
【解析】
（1）将已知点的坐标代入二次函数的解析式利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）首先根据△PFG是等腰直角三角形，设P（m，-m2-2m+3）得到F（m，m+3），进而得到PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m，从而得到△PFG周长为：-m2-3m+
（-m2-3m），配方后即可确定其最大值；
（3）当DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等时，根据同底等高可以确定△ABM与△ABD的面积相等，分别求得直线DM1解析式为：y=x+5和直线M3M2解析式为：y=x+1，联立之后求得交点坐标即可．
（1）∵直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（-3，0）、B（0，3），
代入抛物线解析式y=-x2+bx+c中
，
∴
∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；
（2）∵由题意可知△PFG是等腰直角三角形，
设P（m，-m2-2m+3），
∴F（m，m+3），
∴PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m，
△PFG周长为：-m2-3m+（-m2-3m），
=-（+1）（m+
）2+，
∴△PFG周长的最大值为：．
（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．
此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等，
∵D（-1，4），
∴E（-1，2）、则N（-1，0）
∵y=x+3中，k=1，
∴直线DM1解析式为：y=x+5，
直线M3M2解析式为：y=x+1，
∴x+5=-x2-2x+3或x+1=-x2-2x+3，
∴x1=-1，x2=-2，x3=，x4=，
∴M1（-2，3），M2（，），M3（，）．
53随堂测系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2 h，并且甲车途中休息了0.5 h，如图是甲、乙两车行驶的路程y(km)与时间x(h)的函数图象．
(1)求出图中m和a的值．
(2)求出甲车行驶的路程y(km)与时间x(h)的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．
(3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50 km?
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【题目】如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持DF⊥EF，则△CDE面积的最大值为__．
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【题目】二次函数
（
是常数，
）的图象与
轴交于点
和点
（点在点的右侧），与
轴交于点
，连接
．
（1）用含的代数式表示点和点的坐标；
（2）垂直于轴的直线
在点与点之间平行移动，且与抛物线和直线分别交于点
，设点
的横坐标为
，线段
的长为
．
①当
时，求的值；
②若
，则当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
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【题目】一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字－1，－2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y.
(1)小红摸出标有数字3的小球的概率是________；
(2)请用列表或画树状图的方法表示出由x，y确定的点P(x，y)所有可能的结果；
(3)若规定：点P(x，y)在第一象限或第三象限小红获胜，点P(x，y)在第二象限或第四象限小颖获胜，请分别求出两人获胜的概率．
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【题目】已知抛物线
．
（1）求抛物线
的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）将抛物线向下平移，得抛物线
，使抛物线的顶点落在直线
上．
①求抛物线的解析式；
②抛物线与
轴的交点为
，
（点在点的左侧），抛物线的对称轴于轴的交点为
，点
是线段
上的一点，过点作直线
轴，交抛物线于点
，点关于抛物线对称轴的对称点为
，点
是线段
上一点，且
，连接
，作
交轴于点
，且
，求点的坐标．
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【题目】如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AD=DP，OB=3，求
的长度；
（3）若DE=4，AE=8，求线段EG的长．
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【题目】小明和爸爸周末步行去游泳馆游泳，爸爸先出发了一段时间后小明才出发，途中小明在离家
米处的报亭休息了一段时间后继续按原来的速度前往游泳馆．爸爸、小明离家的距离
(单位：米)，
单位：米)与小明所走时间
(单位：分钟)之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
分别求出爸爸离家的距离和小明到达报亭前离家的距离
与时间之间的函数关系式；
求小明在报亭休息了多长时间遇到姗姗来迟的爸爸？
若游泳馆离小明家
米，请你通过计算说明谁先到达游泳馆？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，直线
分别与
轴、
轴交于点
，抛物线
经过点，与轴的另一个交点为
，抛物线的对称轴
交
于点
．
（1）求抛物线的函数关系式及对称轴；
（2）若
为轴上一动点，
为
的中点，过点作的中垂线，交抛物线于点
，其中
在
的左边．
①如图1，若
时，求的长．
②当以点
为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标．
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