Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别交y轴，x轴于A、B两点，点C在线段AB上，连接OC，且OC＝BC．（1）求线段AC的长度；

（2）如图2，点D的坐标为（﹣，0），过D作DE⊥BO交直线y＝﹣x+3于点E．动点N在x轴上从点D向终点O匀速运动，同时动点M在直线＝﹣x+3上从某一点向终点G（2，1）匀速运动，当点N运动到线段DO中点时，点M恰好与点A重合，且它们同时到达终点．

i）当点M在线段EG上时，设EM＝s、DN＝t，求s与t之间满足的一次函数关系式；

ii）在i）的基础上，连接MN，过点O作OF⊥AB于点F，当MN与△OFC的一边平行时，求所有满足条件的s的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）i）y＝t﹣2；ii）s＝或．．

【解析】

（1）根据以及直角三角形斜边中线定理可得点C是AB的中点，即AC＝AB，求出点C的坐标和AB的长度，根据AC＝AB即可求出线段AC的长度．

（2）i）设s、t的表达式为：①s＝kt+b，当t＝DN＝时，求出点（，2）；

②当t＝OD＝时，求出点（，6）；将点（，2）和点（，6）代入s＝kt+b即可解得函数的表达式．

ii）分两种情况进行讨论：①当MN∥OC时，如图1；②当MN∥OF时，如图2，利用特殊三角函数值求解即可．

（1）A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（3 ，0）；

OC＝BC，则点C是AB的中点，则点C的坐标为：（ ，）；

故AC＝AB＝6＝3；

（2）点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（3，0）、（ ，）；

点D、E、G的坐标分别为：（﹣，0）、（﹣，4）、（2，1）；

i）设s、t的表达式为：s＝kt+b，

当t＝DN＝时，s＝EM＝EA＝2，即点（，2）；

当t＝OD＝时，s＝EG＝6，即点（，6）；

将点（，2）和点（，6）代入s＝kt+b并解得：

函数的表达式为：y＝t﹣2…①；

ii）直线AB的倾斜角∠ABO＝α＝30°，EB＝8，BD＝4，DE＝4，EM＝s、DN＝t，

①当MN∥OC时，如图1，

则∠MNB＝∠COB＝∠CBO＝α＝30°，

MN＝BM＝BE﹣EM＝8﹣s，

NH＝BN＝（BD﹣DN）＝（4﹣t），

cos∠MNH＝＝…②；

联立①②并解得：s＝；

②当MN∥OF时，如图2，

故点M作MG⊥ED角ED于点G，作NH⊥AG于点H，作AR⊥ED于点R，

则∠HNM＝∠RAE＝∠EBD＝α＝30°，

HN＝GD＝ED﹣EG＝4﹣EMcos30°＝4﹣s，

MH＝MG﹣GH＝MEcos30°﹣t＝s﹣t，

tanα＝＝…③；

联立①③并解得：s＝ ；

从图象看MN不可能平行于BC；

综上，s＝或．