Question

【题目】如图，在正方形网格中，△ABC的每一个顶点都在格点上，AB＝5，点D是AB边上的动点（点D不与点A，B重合），将线段AD沿直线AC翻折后得到对应线段AD1，将线段BD沿直线BC翻折后得到对应线段BD2，连接D1D2，则四边形D1ABD2的面积的最小值是　____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

延长AC使CE＝AC，先证明△BCE是等腰直角三角形，再根据折叠的性质解得S四边形ADCD1+S四边形BDCD2＝5，再根据S四边形D1ABD2＝S四边形ADCD1+S四边形BDCD2+S△D1CD2，可得要四边形D1ABD2的面积最小，则△D1CD2的面积最小，即：CD最小，此时，CD⊥AB，此时CD最小＝1，根据三角形面积公式即可求出四边形D1ABD2的面积的最小值．

如图，

延长AC使CE＝AC，

∵点A，C是格点，

∴点E必是格点，

∵CE2＝12+22＝5，BE2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，

∴CE2+BE2＝BC2，CE＝BE，

∴△BCE是等腰直角三角形，

∴∠BCE＝45°，

∴∠ACB＝135°，

由折叠知，∠DCD1＝2∠ACD，∠DCD2＝2∠BCD，

∴∠DCD1+∠DCD2＝2（∠ACD+∠BCD）＝2∠ACB＝270°，

∴∠D1CD2＝360°﹣（∠DCD1+DCD2）＝90°，

由折叠知，CD＝CD1＝CD2，

∴△D1CD2是等腰直角三角形，

由折叠知，△ACD≌△ACD1，△BCD≌△BCD2，

∴S△ACD＝S△ACD1，S△BCD＝S△BCD2，

∴S四边形ADCD1＝2S△ACD，S四边形BDCD2＝2S△BCD，

∴S四边形ADCD1+S四边形BDCD2

＝2S△ACD+2S△BCD

＝2（S△ACD+S△BCD）

＝2S△ABC

＝5，

∴S四边形D1ABD2＝S四边形ADCD1+S四边形BDCD2+S△D1CD2，

∴要四边形D1ABD2的面积最小，则△D1CD2的面积最小，

即：CD最小，此时，CD⊥AB，

此时CD最小＝1，

∴S△D1CD2最小＝CD1CD2＝CD2＝，

即：四边形D1ABD2的面积最小为5+＝5.5，

故答案为5.5．