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【题目】 中,,点 的中点.
1)如图1E为线段DC上任意一点,将线段绕点D逆时针旋转90°得到线段,连接 ,过点F,交直线 于点 .判断 的数量关系并加以证明;
2)如图2,若为线段的延长线上任意一点,(1)中的其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否发生改变,直接写出你的结论,不必证明.

【答案】1FH=FC.理由见解析;(2FHFC仍然相等.理由见解析

【解析】

1)延长DFAB于点G,根据三角形中位线的判定得出点GAB的中点,根据中位线的性质及已知条件AC=BC,得出DC=DG,从而EC=FG,易证∠1=2=90°-DFC,∠CEF=FGH=135°,由AAS证出△CEF≌△FGH.∴CF=FH
2)通过证明△CEF≌△FGHASA)得出.

1FHFC的数量关系是:FH=FC
证明如下:延长DFAB于点G

由题意,知∠EDF=ACB=90°DE=DF
DGCB
∵点DAC的中点,
∴点GAB的中点,且DCAC
DG为△ABC的中位线,
DGBC
AC=BC
DC=DG
DC-DE=DG-DF
EC=FG
∵∠EDF=90°FHFC
∴∠1+CFD=90°,∠2+CFD=90°
∴∠1=2
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形,
∴∠DEF=DGA=45°
∴∠CEF=FGH=135°
∴△CEF≌△FGH
CF=FH
2FHFC仍然相等.


理由:由题意可得出:DF=DE
∴∠DFE=DEF=45°
AC=BC
∴∠A=CBA=45°
DFBC
∴∠CBA=FGB=45°
∴∠FGH=CEF=45°
∵点DAC的中点,DFBC
DG=BCDC=AC
DG=DC
EC=GF
∵∠DFC=FCB
∴∠GFH=FCE
在△FCE和△HFG

∴△FCE≌△HFGASA),
HF=FC

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