Question

【题目】已知四边形ABCD是菱形（四条边都相等的平行四边形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与边BC，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系为：　 　．

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：BE＝CF；

（3）求△AEF周长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）AE＝EF＝AF；（2）详见解析；（3）6．

【解析】

（1）结论AE＝EF＝AF．只要证明AE＝AF即可证明△AEF是等边三角形；

（2）欲证明BE＝CF，只要证明△BAE≌△CAF即可；

（3）根据垂线段最短可知；当AE⊥BC时，△AEF的周长最小；

（1）AE＝EF＝AF．

理由：如图1中，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，

∴△ABC，△ADC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠DAC＝60°

∵BE＝EC，

∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC，

∵∠EAF＝60°，

∴∠CAF＝∠DAF＝30°，

∴AF⊥CD，

∴AE＝AF（菱形的高相等）

∴△AEF是等边三角形，

∴AE＝EF＝AF．

故答案为AE＝EF＝AF；

（2）证明：如图2，

∵∠BAC＝∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

∴△BAE≌△CAF（ASA）

∴BE＝CF．

（3）由（1）可知△AEF是等边三角形，

∴当AE⊥BC时，AE的长最小，即△AEF的周长最小，

∵AE＝EF＝AF＝2，

∴△AEF的周长为6．