【题目】如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论的是_____.
【答案】①②③
【解析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG;在直角△ECG中,根据勾股定理可证BG=GC;通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,由平行线的判定可得AG∥CF;由于S△FGC=S△GCE-S△FEC,求得面积比较即可.
①正确.
理由:
∵AB=AD=AF,AG=AG,∠B=∠AFG=90°,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL);
②正确.
理由:
EF=DE=CD=2,设BG=FG=x,则CG=6-x.
在直角△ECG中,根据勾股定理,得(6-x)2+42=(x+2)2,
解得x=3.
∴BG=3=6-3=GC;
③正确.
理由:
∵CG=BG,BG=GF,
∴CG=GF,
∴△FGC是等腰三角形,∠GFC=∠GCF.
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG;
∴∠AGB=∠AGF,∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF,
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,
∴AG∥CF;
④错误.
理由:
∵S△GCE=GCCE=
×3×4=6
∵GF=3,EF=2,△GFC和△FCE等高,
∴S△GFC:S△FCE=3:2,
∴S△GFC=×6=
≠3.
故④不正确.
∴正确的个数有3个: ①②③.
故答案为:①②③
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【题目】如图1,点P,Q分别是等边△ABC边AB,BC上的动点(端点除外),点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们的运动速度相同,连接AQ,CP交于点M.
(1)求证:△ABQ△CAP;
(2)如图1,当点P,Q分别在AB,BC边上运动时,∠QMC变化吗?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
(3)如图2,若点P,Q在分别运动到点B和点C后,继续在射线AB,BC上运动,直线AQ,CP交点为M,则∠QMC= 度.(直接填写度数)
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【题目】泰勒斯是古希腊哲学家,相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离.如图,B是观察点,船A在B的正前方,过B作AB的垂线,在垂线上截取任意长BD,C是BD的中点,观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走,直到点E、船A和点C在一条直线上,那么△ABC≌△EDC,从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB,这里判定△ABC≌△EDC的方法是( )
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
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【题目】小明利用所学函数知识,对函数进行了如下研究.列表如下:
x | … | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | 7 | 5 | 3 | m | 1 | n | 1 | 1 | 1 | … |
(1)自变量x的取值范围是________;
(2)表格中:m=_______;n=________;
(3)在给出的坐标系中画出函数的图象;
(4)一次函数的图象与函数
的图象交点的坐标为_______________.
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【题目】如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若AB=3,BC=4,求四边形OCED的面积.
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【题目】如图,在矩形ABCD中AB=,BC=1,将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D,点A恰好落在矩形ABCD的边CD上,则AD扫过的部分(即阴影部分)面积为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图所示,已知△ABC中,AB=AC=BC=10厘米,M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度是1厘米/秒的速度,点N的速度是2厘米/秒,当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.
(1)M、N同时运动几秒后,M、N两点重合?
(2)M、N同时运动几秒后,可得等边三角形△AMN?
(3)M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰△AMN,如果存在,请求出此时M、N运动的时间?
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【题目】在平面直角坐标系上,已知点A(8,4),AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C,直线y=x交AB于D.
(1)直接写出B、C、D三点坐标;
(2)若E为OD延长线上一动点,记点E横坐标为a,△BCE的面积为S,求S与a的关系式;
(3)当S=20时,过点E作EF⊥AB于F,G、H分别为AC、CB上动点,求FG+GH的最小值.
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