Question

【题目】如图所示，已知△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？

（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？

（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？

Answer 1

【答案】(1)10秒;(2)秒;(3)秒.

【解析】

（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可；

（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形；

（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的

（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，

x+10=2x，解得x=10；

（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，

AM=t，AN=AB–BN=10–2t，

∵三角形△AMN是等边三角形，

∴t=10–2t，解得t=，

∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．

（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，

由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在点C处，

如图②，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，

∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，

在△ACM和△ABN中，

∵，

∴△ACM≌△ABN（AAS），

∴CM=BN，

设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间为y秒时，△AMN是等腰三角形，

∴CM=y–10，NB=30–2y，CM=NB，

y–10=30–2y，

解得：y=．故假设成立．

∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．