Question

15．如图，已知一次函数${y_1}=\frac{2}{3}x+b$与反比例函数${y_2}=\frac{k}{x}$的图象交于A（3，4）、B（-6，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出使一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）把点A坐标代入反比例函数求出k的值，也就求出了反比例函数解析式；
（2）根据图象和交点坐标即可求得；
（3）把点A的坐标代入${y_1}=\frac{2}{3}x+b$，求得一次函数解析式，求出直线与y轴的交点坐标，从而y轴把△AOB分成两个三角形，结合点A、B的横坐标分别求出两个三角形的面积，相加即可．

解答 解：（1）点A（3，4）在反比例函数${y_2}=\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=3×4=12，
∴反比例函数的表达式为y₂=$\frac{12}{x}$，
（2）一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围是x＜-6或0＜x＜3；
（3）把点A（3，4）代入一次函数${y_1}=\frac{2}{3}x+b$中，
得4=$\frac{2}{3}$×3+b，
解得b=2，
∴一次函数的表达式为y₁=$\frac{2}{3}$x+2；
当x=0时，得y=2，
∴直线y₁=$\frac{2}{3}$x+2与y轴的交点为C（0，2），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×6+$\frac{1}{2}$×2×3=9．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．