Question

1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）证明：四边形BDFG是菱形；
（2）若AC=10，CF=6，求线段AG的长度．

Answer 1

分析 （1）首先可判断四边形BDFG是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BDFG是菱形；
（2）由菱形的性质求得GF=DF=$\frac{1}{2}$AC=5，由勾股定理得AF的长，继而求得AG的长．

解答 （1）证明：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CE⊥BD
∴CE⊥AG，
又∵BD为AC的中线，
∴BD=DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴四边形BDFG是菱形；

（2）解：∵四边形BDFG是菱形，∠ABC=90°，点D为AC的中点，
∴GF=DF=$\frac{1}{2}$AC=5，
∵CF⊥AG，
∴AF=$\sqrt{{AC}^{2}{-CF}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}{-6}^{2}}$=8，
∴AG=AF+GF=8+5=13．

点评 本题主要考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边的中线的性质以及勾股定理，注意掌握数形结合思想是解答此题的关键．