Question

9．（1）若P为x轴上一动点，A（2，2），B（4，4），求PA+PB最小值？
（2）若P为半径为1的⊙O上一动点，O（0，0），A（2，2），B（4，4），求PA+PB的最小值？

Answer 1

分析 （1）作点A关于x轴的对称点A′，当点A′、P、B在一条直线上时，PA+PB有最小值，利用两点间的距离公式求得A′B的距离即可；
（2）先求得OA、OB的长度，然后根据PA+PB=OA+OB-2OP计算即可．

解答 解：（1）如图1所示；作点A关于x轴的对称点A′．

由轴对称的性质可知点A′的坐标为（2，-2），
∵PA+PB=PA′+PB．
当点A′、P、B在一条直线上时，PA+PB有最小值．
由两点间的距离公式得：A′B=$\sqrt{（4-2）^{2}+（4+2）^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
∴PA+PB的最小值为2$\sqrt{10}$．
（2）如图2所示：当点A、B、P在一条直线上时，PA+PB有最小值．

由两点之间的距离公式得：OA=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
AP+PB=OA+OB-2OP=6$\sqrt{2}$-2．
∴PA+PB的最小值为6$\sqrt{2}-2$．

点评 本题主要考查的是轴对称--最短路径问题，明确PA+PB有最小值的条件是解题的关键．