Question

17．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为AD上的动点，过点P作PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为M、N，若AB=m，BC=n，则PM+PN=（　　）

• A． $\frac{m+n}{2}$
• B． $\frac{mn}{m+n}$
• C． $\frac{mn}{{\sqrt{m_{\;}^2+{n^2}}}}$
• D． $\frac{n}{m}$

Answer 1

分析 连接OP，由矩形的性质得出OA=OD，∠ABC=90°，由勾股定理求出AC，得出OA，由△OAP的面积+△ODP的面积=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面积，即可得出结果．

解答 解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OD，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴OA=OD=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{2}$，
∵△OAP的面积+△ODP的面积=△AOD的面积=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面积，
即$\frac{1}{2}$OA•PM+$\frac{1}{2}$OD•PN=$\frac{1}{2}$OA（PM+PN）=$\frac{1}{4}$AB•BC=$\frac{1}{4}$mn，
∴PM+PN=$\frac{mn}{2OA}$=$\frac{mn}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，
故选：C．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．