Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上弧BF的中点，CD⊥AF，垂足为D，AB、DC的延长线交于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接OC, 根据C为⊙O上的中点，证明∠1=∠2，再根据OA=OC，

得∠1=∠3，再得∠2=∠3，证明AD∥OC，最后得AD⊥CD，OC⊥CD，得到结论;

（2）设⊙O的半径为r，则OC=OB=r，再根据直角三角形边长关系求出r,最后用图中阴影部分的面积=S△COE﹣S扇形COB来计算.

（1）证明：连接OC，如图，

∵C为⊙O上的中点，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AD∥OC，

∴AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，则OC=OB=r，

在Rt△OCE中，r2+（3）2=（r+3）2，解得r=3，

∴OC=3，OE=6，

∴∠E=30°，∠COE=60°，

∴图中阴影部分的面积=S△COE﹣S扇形COB

=×3×3﹣

=．