Question

7．平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，3），对称轴直线x=1交x轴于点E，点D为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且S_△PAC=2S_△DAC，求点P的坐标；
（3）点M是第二象限内抛物线上一点，且∠MAC=∠ADE，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知中点A、C的坐标分别为（3，0），（0，3），对称轴为直线x=1，得出B点坐标，进而利用交点式求出即可求出抛物线的解析式；
（2）由已知中C点坐标，再假设出P点坐标，可求出直线PC解析式，求出R点坐标，进而根据S_△PAC=2S_△DAC，可得点P的坐标；
（3）过点C作CH⊥DE交DE于点H，设AC交对称轴于点G，AM交y轴于点N，由∠MAC=∠ADE，可得N点坐标，进而求出AN的方程，联立直线与抛物线方程可得M点坐标．

解答 解：（1）由对称轴x=1，A（3，0），可得B点坐标（-1，0）
设y=a（x-3）（x+1），把C（0，3）代入得，3=-3a，
解得：a=-1，
所求解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）如图：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，顶点D（1，4），
由A（3，0）、C（0，3），得直线AC解析式为y=-x+3；
设对称轴交AC于点G，则G（1，2），
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$（4-2）×3=3，
设P点（m，-m²+2m+3），
设PC解析式为：y=qx+p，
∴$\left\{\begin{array}{l}{P=3}\\{mk+3=-{m}^{2}+2m+3}\end{array}\right.$，
解得：k=-m-2，
∴PC解析式为：y=（-m+2）x+3，
设PC与x轴交于点R，
∴R（$\frac{3}{m-2}$，0），
∴AR=3-$\frac{3}{m-2}$，
∴S_△APR+S_△CAR=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{3}{m-2}$）×（m²-2m-3）+$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{m-2}$）×3=$\frac{3{m}^{2}}{2}$-$\frac{9m}{2}$，
则S_△PAC=$\frac{3{m}^{2}}{2}$-$\frac{9m}{2}$，
由S_△PAC=2S_△DAC，
∴$\frac{3{m}^{2}}{2}$-$\frac{9m}{2}$=2×3，
解得：m₁=4，m₂=-1，把m₁=4，m₂=-1分别代入y=-x²+2x+3中，
∴y₁=-5，y₂=0，
∴P点坐标为（4，-5）或（1，0）；              

（3）由以上可得出：D（1，4），C（0，3），E（1，0），
如备用图：过点C作CH⊥DE交DE于点H，
∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°，
∴CD=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，△ACD为直角三角形，且tan∠DAC=$\frac{1}{3}$．
设AC交对称轴于点G，AM交y轴于点N，
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO，
∴tan∠MAO=$\frac{1}{3}$．
∵A（3，0），
∴ON=1，即N（0，1），
设直线AN解析式为：y=dx+h
∴$\left\{\begin{array}{l}{h=1}\\{3d+h=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{h=1}\\{d=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AN解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
得：x=3（舍）或x=-$\frac{2}{3}$，
∴点M的坐标为（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）．

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，是二次函数与解析几何知识的综合应用，难度较大．