Question

17．如图，已知AC⊥CB，DB⊥CB，AB⊥DE，垂足为F，AB=DE，E是BC的中点．
（1）求证：BD=BC；
（2）若AC=3，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC；
（2）由（1）可知△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等，得到AC=BE，由E是BC的中点，得到BD=BC=2BE．

解答 解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠EBD}\\{∠A=∠DEB}\\{AB=ED}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC；

（2）∵△ABC≌△EDB，
∴AC=BE=3，
∵E是BC的中点，
∴BC=2BE=6，
∴BD=BC=6．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．