Question

2．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2），且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设抛物线与直线的另一交点为C，已知P为线段AC上一点（不含端点），过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示线段PQ的长，并求出PQ的最大值；
（3）若点D在抛物线的对称轴上，点E在抛物线上，是否存在以A、B、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知抛物线的对称轴为x=1，从而可求得m=-1，由关于x轴对称的点的坐标特点可知N（1，-2），将点N的坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²-x+n可求得n的值；
（2）令$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$=0，可求得点A的坐标（-1，0），然后依据待定系数法可求得直线AC的解析式为y=x+1，由点P在AC上可求得点P的纵坐标为x+1，点Q在抛物线上可求得点Q的纵坐标为$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$，然后根据PQ=y_p-y_Q可求得PQ的解析式，然后利用配方法可求得PQ的最大值为$\frac{9}{2}$；
（3）先根据题意画出图形，然后由平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分可求得点E的坐标．

解答 解：（1）∵x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{m}{\frac{1}{2}×2}$=1，
∴m=-1．
∵点M与点N关于x轴对称，
∴点N的坐标为（1，-2）．
将m=-1，x=1，y=-2代入得：$\frac{1}{2}-1+n=-2$．
解得：n=-$\frac{3}{2}$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$．
（2）如图1所示：

令y=0得：$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$=0．
解得：x₁=-1，x₂=3．
则点A的坐标为（-1，0）．
设直线AM的解析式为y=kx+b，将点A（-1，0），M（1，2）代入得；$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=1．
∴直线AM的解析式为y=x+1．
∵点P的横坐标为x，PQ⊥x轴，
∴点Q的横坐标为x．
∴点P的纵坐标为x+1，点Q的纵坐标为$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$．
∴PQ=x+1-（$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$）=$-\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x+$\frac{5}{2}$．
∵PQ=$-\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x+$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+$\frac{9}{2}$，
∴当x=2时，PQ有最大值，最大值为$\frac{9}{2}$．
（3）如图2所示：

①当AC=BC，PC=CE时，四边形AEBP是平行四边形，此时点E的坐标为（1，-2）．
如图3所示：

②∵ABPE为平行四边形，
∴PE∥AB，且PE=AB=4．
∴点E的横坐标为5．
将x=5代入y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$，得y=6．
∴点E的坐标为（5，6）．
③∵ABPE′为平行四边形，
∴PE′∥AB，且PE′=AB=4．
∴点E′的横坐标为-3．
将x=-3代入y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$，得y=6．
∴点E的坐标为（-3，6）．
综上所述，点E的坐标为（1，-2）或（5，6）或（-3，6）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、配方法求二次函数的最大值、平行四边形的性质和判定，依据PQ=P_y-Q_y列出关于PQ长度的函数关系式是解题的关键．