Question

如图1，已知等腰直角△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，E为DC上的一点，且AG⊥BE于G，AG交BD于F．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，若点E在DC的延长线上，其它条件不变，①的结论还能成立吗？若不能，请说明理由；若能，请予以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）易证∠CBE=∠BAF，再根据∠C=∠ABD=45°，AB=BC即可证明△ABF≌△BCE，即可解题；
（2）成立，易证∠CBE=∠BAF，再根据∠C=∠ABD=45°，AB=BC即可证明△ABF≌△BCE，即可解题．

解答：证明：（1）∵AB=BC，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，
∴∠ABD=∠C=45°，
∵∠BAF+∠ABG=90°，∠ABG+∠CBE=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
∵在△ABF和△BCE中，

∠BAF=∠CBE AB=BC ∠ABD=∠C=45°

，
∴△ABF≌△BCE，（ASA）
∴AF=BE；
（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，
∴∠ABD=∠C=45°，
∴∠ABF=∠BCE=135°，
∵∠BAF+∠ABG=90°，∠ABG+∠CBE=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
∵在△ABF和△BCE中，

∠BAF=∠CBE AB=BC ∠ABF=∠BCE=135°

，
∴△ABF≌△BCE，（ASA）
∴AF=BE；

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABF≌△BCE是解题的关键．