Question

如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD．
求证：
（1）∠EBC=∠CAD；   
（2）BE⊥AC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由AD为BC边上的高得到∠ADB=∠ADC=90°，再根据“SAS”可判断△BDF≌△ADC，则∠DBF=∠DAC；
（2）由于∠ACD+∠DAC=90°，可得到∠ACD+∠DBF=90°，所以∠BEC=90°，于是得到BE⊥AC．

解答：证明：（1）∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵在△BDF和△ADC中，

BD=AD ∠BDF=∠ADC DF=DC

，
∴△BDF≌△ADC（SAS），
∴∠EBC=∠CAD；

（2）∵∠ADC=90°，∠EBC=∠CAD
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠ACD+∠DBF=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．