Question

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=

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AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是

 

（填序号）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：由条件可得∠APE=30°，则∠PEF=∠BEF=60°，可得EF=2BE，PF=

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PE，EF=2BE=4EQ，从而可判断出正确的结论．

解答：解：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP，
∵AE=

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AB，
∴BE=PE=2AE，
∴∠APE=30°，
∴∠PEF=∠BEF=60°，
∴∠EFB=∠EFP=30°，
∴EF=2BE，PF=

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PE，
∴①正确，②不正确；
又∵EF⊥BP，
∴EF=2BE=4EQ，
∴③不正确；
又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，
∴△PBF为等边三角形，
∴④正确；
所以正确的为①④，
故答案为：①④．

点评：本题主要考查矩形的性质和轴对称的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质等知识，综合性较强，掌握直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．