Question

已知关于x的方程x²+（m+2）x+2m﹣1=0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根．

（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．

Answer 1

【考点】根的判别式；根与系数的关系．

【专题】计算题．

【分析】（1）先计算出△=（m+2）²﹣4（2m﹣1），变形得到△=（m﹣2）²+4，由于（m﹣2）²≥0，则△＞0，然后根据△的意义得到方程有两个不相等的实数根；

（2）利用根与系数的关系得到x₁+x₂=0，即m+2=0，解得m=﹣2，则原方程化为x²﹣5=0，然后利用直接开平方法求解．

【解答】（1）证明：△=（m+2）²﹣4（2m﹣1）

=m²﹣4m+8

=（m﹣2）²+4，

∵（m﹣2）²≥0，

∴（m﹣2）²+4＞0，

即△＞0，

所以方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个根为x₁，x₂，由题意得：

x₁+x₂=0，即m+2=0，解得m=﹣2，

当m=﹣2时，方程两根互为相反数，

当m=﹣2时，原方程为x²﹣5=0，

解得：x₁=﹣，x₂=．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和根与系数的关系．