Question

已知二次函数y=x²﹣2mx+m²﹣1（m≠0）的图象经过点（1，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；

（3）x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）把点（1，0）代入y=x²﹣2mx+m²﹣1，解方程求出m的值即可；

（2）令x=0，得y=3，即可得出C点坐标．将抛物线解析式配方成顶点式，即可得出顶点D的坐标；

（3）由两点之间线段最短知PC+PD≤CD，得出当C，P，D三点共线时，PC+PD最短．由待定系数法求出直线CD的解析式，即可求出点P坐标．

【解答】解：（1）把点（1，0）代入y=x²﹣2mx+m²﹣1，

得：1²﹣2m+m²﹣1=0，

解得：m=2，或m=0（不合题意，舍去），

∴m=2，

∴二次函数的解析式为y=x²﹣4x+3；

（2）令x=0，得y=3，

∴C点坐标为（0，3）．

将y=x²﹣4x+3配方得：y=（x﹣2）²﹣1，

∴D点坐标为（2，﹣1）．

（3）存在；点P的坐标为（1.5，0）．理由如下：

由两点之间线段最短知PC+PD≤CD，

∴当C，P，D三点共线时，PC+PD最短．

设直线CD的解析式为y=kx+b，

根据题意得：，

解得：k=﹣2，b=3，

直线CD的解析式为：y=﹣2x+3，

当y=0时，x=1.5，

∴点P的坐标为（1.5，0）．

【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、一次函数解析式的求法、抛物线的顶点坐标、抛物线与y轴的交点、最短线段问题等知识；本题综合性强，有一定难度，确定二次函数和一次函数解析式是解决问题的关键．