Question

1．如图，已知：△ABC为边长是4$\sqrt{3}$的等边三角形，四边形DEFG为边长是6的正方形．现将等边△ABC和正方形DEFG按如图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，△ABC从图1的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿EF方向向右匀速运动，当点C与点F重合时暂停运动，设△ABC的运动时间为t秒（t≥0）
（1）在整个运动过程中，设等边△ABC和正方形DEFG重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
（2）如图2，当点A与点D重合时，作∠ABE的角平分线EM交AE于M点，将△ABM绕点A逆时针旋转，使边AB与边AC重合，得到△ACN．在直线AG上是否存在H点，使得△ANH为等腰三角形？如果存在，找出H点位置，请求出线段AH的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分两种情况利用三角形的面积公式可以表示出0$≤t＜2\sqrt{3}$时重叠部分的面积，当2$\sqrt{3}$≤t≤6时用△ABC的面积-△BEH的面积即可求出重叠部分的面积；
（2）当点A与点D重合时，BE=CE=2$\sqrt{3}$，再由条件可以求出AN的值，分三种情况讨论求出AH的值，①AN=AH=4时，②AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上，③AH=NH时，此时H点为线段AG的中垂线与AG的交点，从而可以求出答案．

解答 解：（1）如图1所示．

当0≤t＜2$\sqrt{3}$时，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠HCE=60°．
∴$\frac{EH}{EC}=\sqrt{3}$．
∴EC=t，EH=$\sqrt{3}t$．
∴△HEC的面积=$\frac{1}{2}EC•EH$=$\frac{1}{2}×t×\sqrt{3}t$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$．
如图2所示：

过点A作AM⊥BC，垂足为M．
当2$\sqrt{3}$≤t≤6时，EC=t，则BE=4$\sqrt{3}$-t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°．
∴$\frac{HE}{BE}=\sqrt{3}$．
∴HE=$\sqrt{3}$BE，即EH=$\sqrt{3}×（4\sqrt{3}-t）$．
∴△BHE的面积=$\frac{1}{2}BE•EH=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×（4\sqrt{3}-t）^{2}$．
过点A作AM⊥BC，垂足为M．
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{AM}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴AM=6．
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}CB•AM=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×6$=12$\sqrt{3}$．
∴重合部分的面积=S_△ABC-S_△BHE=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+12t-12\sqrt{3}$．
∴S与t之间的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}（0≤t＜2\sqrt{3}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+12t-12\sqrt{3}（2\sqrt{3}≤t≤6）}\end{array}\right.$．
（2）①当AH=AN时，如图3所示．

∵当点A与点D重合时，
∴BE=CE=2$\sqrt{3}$．
∵BM平分∠ABE，
∴$∠MBE=\frac{1}{2}∠ABE=30°$．
∴ME=2．
∵∠ABM=∠BAM．
∴AM=BM=4．
∵△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=30°，AN=4．
∴AH=4；
②如图4所示；过点N作NK⊥AG，垂足为K．

当AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上．
∵∠EAC=∠CAN=30°，
∴∠KAN=30°．
∴AK=$\frac{\sqrt{3}}{2}×AN$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$．
∵AN=NH，NK⊥AH，
∴AK=KH．
∴AH=2AK=4$\sqrt{3}$．
③当AH=NH时，如图5所示；过点H作HK⊥AN，垂足为K．

∵AH=HN，KH⊥AN，
∴AK=KN．
∴AK=$\frac{1}{2}AN=2$．
∴AH=$\frac{AK}{cos∠HAK}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了求函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，根据题意画出符合题意的图形是解答本题的关键．