Question

【题目】定义：若某抛物线上有两点A、B关于原点对称，则称该抛物线为“完美抛物线”.已知二次函数（a,m,c均为常数且ac）是“完美抛物线”：

（1）试判断ac的符号；

（2）若c＝－1,该二次函数图像与y轴交于点C，且.

①求a的值；

②当该二次函数图像与端点为M(－1，1)、N(3，4)的线段有且只有一个交点时，求m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）ac＜0；

（2）①a的值为1；

②m的取值范围是或

【解析】（1）首先设A点的坐标是（p，q），根据A，B关于原点对称，判断出B点的坐标是（-p，-q）；然后根据A，B都是抛物线上的点,代入求解即可；

（2）①.故a＝1.

②由①可知：抛物线解析式为.MN： ().

依题，只需联立在内只有一个解即可.

试题解析：(1)设A (p，q).则B (－p，－q).把A、B坐标代入解析式可得：

.

∴.即.

∴.

∵ac.

∴.

∴ac＜0.

(2)∵c＝－1.∴，a＞0，且C(0，－1).∴.

①.∴a＝1.

②由①可知：抛物线解析式为.∵M(－1，1)、N(3，4).

∴MN： ().

依题，只需联立在内只有一个解即可.

∴.故问题转化为：方程在内只有一个解.

建立新的二次函数： .∵且.

∴抛物线与x轴有两个交点，且交y轴于负半轴.

问题进一步转化为抛物线与x轴的两个交点中，只能有一个点落在以P（－1,0）、Q(3，0)为端点的线段PQ上.

分情况讨论：

㈠当抛物线与x轴的左交点落在线段PQ上.则右交点在PQ的延长线上.如图(1)：

则对于函数有 即： ，

解得： .

㈡当抛物线与x轴的右交点落在线段PQ上.则左交点在QP的延长线上.如图(2)：

则对于函数有

即： ，解得： .

综上所述， 或.