Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象顶点为（1，4），且经过点C（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）问当x取何值时，y随x的增大而减小？并指出当x取何值时，y＞0．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-1）²+4，然后把（3，0）代入求出a的值即可；
（2）根据二次函数的性质，当开口向下时，在对称轴右侧y随x的增大而减小，即x＞1；然后利用抛物线与x轴的交点问题求出抛物线与x轴的交点坐标，再找出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，
把（3，0）代入得4a+4=0，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x-1）²+4；
（2）因为a=-1＜0，
所以当x＞1时，y随x的增大而减小；
当y=0时，-（x-1）²+4=0，解得x₁=-1，x₂=3，即抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
所以当-1＜x＜3时，y＞0．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．