Question

【题目】将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变.探究：线段MD、MF的关系，并加以证明.

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】试题分析:根据观察它们的关系可能是MD=MF,MD⊥MF,证明思路:可以通过构建三角形来证明,延长DM交CE于点N,连接FD,FN,根据等腰直角三角形的性质,我们可以通过证明三角形DFN为等腰直角三角形,M为其斜边的中点来实现,那么要证明三角形DFN是个等腰直角三角形,且DM=MN,即要证明DF=FN,DM=MN, ∠DFN=90°,如果要证明DM=MN,那么可通过证明三角形ADM和MNE全等来实现,由于AD∥BE,那么∠1=∠2,M为AE中点,对顶角∠3=∠4,根据ASA可得出三角形ADM和MNE全等,那么可得出MN=DM,AD=NE,下一步证明三角形DCF和三角形FNE全等即可,由全等可得DF=FN, ∠5=∠6,根据同角的余角相等进行转化可证∠5+∠CFN=90°,那么我们可得出三角形DFN是个等腰直角三角形,且M是斜边DN的中点,因此可得出MD=MF, MD⊥MF.

试题解析:证法一:延长DM到N,使MN=MD,连接FD,FN,EN,延长EN与DC延长线交于点H.

∵MA=ME，∠1=∠2，MD=MN，

∴△AMD≌△EMN.

∴∠3=∠4，AD=NE.

又∵正方形ABCD、CGEF，

∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，

∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°,

∴DC=NE,

∵∠3=∠4，∴AD∥EH.

∴∠H=∠ADC=90°,

∵∠G=90°，∠5=∠6，∴∠7=∠8,

∵∠7＋∠DCF=∠8＋∠FEN=90°，

∴∠DCF=∠FEN.

∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF.

∴FD=FN，∠DFC=∠NFE.

∵∠CFE=90°，

∴∠DFN=90°.

∴FM⊥MD，MF=MD.

证法二：如右图，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN.

∴∠ADC=∠H，∠3=∠4.∵AM=ME，∠1=∠2，

∴△AMD≌△EMN.

∴DM=NM，AD=EN.

∵正方形ABCD、CGEF，

∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°.

∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE.

∴∠DCF＋∠7=∠5＋∠7=90°.

∴∠DCF=∠5=∠NEF.

∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF.

∴FD=FN，∠DFC=∠NFE.∵∠CFE=90°，

∴∠DFN=90°.

∴FM⊥MD，MF=MD.