Question

18．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）问t为何值时，PA=PB？
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer 1

分析 （1）分两种情况：点P在AC上和点P在AB上，分别根据移动的路程，求得时间t的值即可；
（2）分两种情况：①若P在边AC上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6s；②若P在AB边上时，有三种可能：i若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为4+8=12cm，用的时间为12时； ii）若CP=BC=6cm，过C作CD⊥AB于点D，根据面积法求得高CD=4.8cm，求出BP=2PD=7.2cm，得出P运动的路程为18-7.2=10.8cm，即可得出结果；ⅲ）若BP=CP，则∠PCB=∠B，证出PA=PC得出PA=PB=5cm，得出P的路程为13cm，即可得出结果；
（3）分两种情况：①当P、Q没相遇前：P点走过的路程为t，Q走过的路程为2t，根据题意得出方程，解方程即可；②当P、Q没相遇后：当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-8，AQ=2t-16，根据题意得出方程，解方程即可；即可得出结果．

解答 解：（1）如图2，作AB的垂直平分线DE，交AB于E，交AC于D，连接DB，则DA=DB，EA=EB，
∵△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8cm，
①当点P与点D重合时，PA=PB，
此时，CP=1t=t，AP=8-t=BP，
∴在Rt△BCP中，t²+6²=（8-t）²，
解得t=$\frac{7}{4}$；
②当点P与点E重合时，PA=PB，
此时，PA=PB=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴CA+AP=13，即1t=13，
解得t=13，
故当t=$\frac{7}{4}$或13s时，△BCP为等腰三角形；

（2）如图3，若P在边AC上时，BC=CP=6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有三种情况：
①如图4，若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；
②如图5，若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP=7.2cm，
所以P运动的路程为18-7.2=10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③如图6，若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，
∴∠ACP=∠CAP，
∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴当t=6s或13s或12s或 10.8s 时，△BCP为等腰三角形；

（3）分两种情况：①当P、Q没相遇前：如图7
P点走过的路程为tcm，Q走过的路程为2tcm，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t=12，
∴t=4s；                                          
②当P、Q相遇后：如图8
当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-8，AQ=2t-16，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t-8+2t-16=12，
∴t=12s，
故当t为4秒或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．