Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于点M．求证：AM=

1

2

（AB+AC）．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长AM至N，使DM=MN，连接CN，求得CD=CN，得出∠ANC=∠ACN，进而求得AC=AN，所以AB+AC=AD+AN=AD+AM+MN=AD+AM+DM=2AM，即可求得结论．

解答：证明：延长AM至N，使DM=MN，连接CN，
∵CM⊥AD，DM=MN，
∴CN=CD，
∴∠CDN=∠DNC，
∴∠DNC=∠ADB，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB，
∴∠B=∠ANC，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠ADB=∠ACN，
∴∠ANC=∠ACN，
∴AN=AC，
∴AB+AC=AD+AN=AD+AM+MN=AD+AM+DM=2AM，
∴AM=

1

2

（AB+AC）．

点评：本题考查了线段的垂直平方线的性质，等腰三角形的判定和性质，角的平分线的性质；此题利用辅助线构造等腰三角形，得出AN=AC是关键．