Question

【题目】如图所示，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，抛物线P上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下.

(1)求A，B，C三点的坐标；

(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；

(3)当矩形DEFG的面积S最大时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围；

(4)若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积．

Answer 1

【答案】（1）A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)；（2）S矩形DEFG=12m－6m2(0＜m＜2)；（3）k的取值范围是k≠且k＞0；（4）S矩形DEFG＝6．

【解析】试题分析：（1）可任选三组坐标，用待定系数法即可求出抛物线P的解析式．然后根据抛物线P的解析式即可得出A、B、C三点的坐标；

（2）求矩形的面积需知道矩形的长和宽，可先在直角三角形AOC中，根据AD，OA，DG，CD的比例关系式，用m表示出DG的长，同理可在直角三角形BCO中表示出OE的长，进而可根据ED=EO+OD得出ED的长，然后由矩形的面积公式即可得出S与m的函数关系式；

（3）根据（2）的函数关系式即可得出S的最大值及对应的m的值．进而可得出D，E，F，G的坐标．如果设DF的延长线交抛物线于N点，那么可先求出FN与DF的比例关系．如果过N作x轴的垂线设垂足为H，那么我们可得出EF：DF=DF：DN，而EF，DF均为F，N点的纵坐标的绝对值，因此要先求出N点的纵坐标，可先根据D、F的坐标求出直线DF的解析式，然后联立直线DF的解析式与抛物线P的解析式求出N点的坐标，然后根据上述比例关系求出FN、DF的比例关系，如果求出此时FN=k1DF，那么由于M不在抛物线上，因此k的取值范围就是k＞0，且k≠k1．

（4）由，AD=1，AO=2，OC=4，得到DG=2．又由，AB=6，CP=2，OC=4，得到FG=3，从而得到结论．

试题解析：解：（1）设y=ax2+bx+c（a≠0），任取x，y的三组值代入，得： ，解得： ，∴解析式为： ，令y=0，解得x1=﹣4，x2=2；

令x=0，得y=﹣4，∴A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（﹣4，0），C（0，﹣4）．

（2）由题意得： ，而AO=2，OC=4，AD=2﹣m，故DG=4﹣2m，又，EF=DG，得BE=4﹣2m，∴DE=3m，∴SDEFG=DGDE=（4﹣2m）3m=12m﹣6m2（0＜m＜2）．

（3）∵SDEFG=﹣6m2+12m=﹣6（m﹣1）2+6，（0＜m＜2），∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．

当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，﹣2），F（﹣2，﹣2），E（﹣2，0）。设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=﹣，∴。又因为抛物线P的解析式为： ，令，解得：x=．

设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有，点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k≠且k＞0．

（4）∵，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2．又∵，而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，∴SDEFG=DGFG=6．