Question

如图，直线l的解析式为y=

4

3

x+4，l与x轴、y轴分别交于点A、B，⊙O的半径为1，点C是y轴正半轴上的一点．如果⊙C既与⊙O相切，也与直线l相切，求圆心C的坐标．

Answer 1

考点：相切两圆的性质,一次函数图象上点的坐标特征,切线的性质

专题：

分析：如图，作辅助线，根据勾股定理求出AB的长度；证明△EBC∽△OBA，列出关于λ的方程，求出λ问题即可解决．

解答：解：如图，设⊙C的半径为λ，
⊙C与直线AB相切于点E，连接CE；
⊙C与⊙O相切于点D，
则CE⊥AB，OC=λ+1；
对于直线AB，当x=0时，y=4；当y=0时，x=-3，
∴OA=3，OB=4；BC=4-（λ+1）=3-λ；
根据勾股定理：
AB²=OA²+OB²=9+16，
∴AB=5；
∵∠EBC=∠OBA，∠BEC=∠BOA，
∴△EBC∽△OBA，
∴

CE

AO

=

BC

AB

，即

λ

3

=

3-λ

5

，
解得：λ=

9

8

，λ+1=

17

8

；
当⊙C与⊙O内切时，同理可求点C的坐标为（0，

7

8

），
∴点C的坐标为（0，

17

8

）或（0，

7

8

）．

点评：该题以平面直角坐标系为载体，以考查相切两圆的性质、一次函数图象与坐标轴交点的坐标、切线的性质、相似三角形的判定及其性质应用等知识点为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．