Question

【题目】如图，、分别是边长为的等边的边，上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，分别沿，边运动，点到点停止，点到点停止.社运动时间为秒，他们的速度都为.

（1）连接，相交于，在点，的运动过程中的大小是否变化？若变化，说明理由；若不变，求出它的度数；

（2）当取何值时，是直角三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ=60°；
（2）可用t分别表示出BP和BQ，分∠BPQ=90°和∠BPQ=90°两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程，则可求得t的值；

（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
∴AP=BQ，
在△APC和△BQA中，
∴△APC≌△BQA（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°；
（2）∵运动时间为ts，则AP=BQ=t，
∴PB=4-t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，
∴4-t=2t，解得，
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2PB，
∴t=2（4-t），解得，
∴当t为s或s时，△PBQ为直角三角形；