Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，四边形PDEF是矩形，PD=2，PF=4，DE与AB边交于点G，点P从点B出发沿BC以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，伴随点P的运动，矩形PDEF在射线BC上滑动；点Q从点P出发沿折线PD﹣DE以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P，Q同时出发，当点Q到达点E时停止运动，点P也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）

（1）当t=1时，QD=　　，DG=　　；

（2）当点Q到达点G时，求出t的值；

（3）t为何值时，△PQC是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）1，；（2）∴t=s时，点Q到达点G；（3）当0＜t≤2或t=3或t=4时，△PCQ是直角三角形．

【解析】

第一问根据相似的比例关系求解，第二问列方程形成等式，使Q到达G点，从而求出t，第三问根据△PCQ是直角三角形时，△QHP∽△CHQ，进而求出t.

（1）如图1中，设BG交PD于点K．

t=1时，PB=PQ=1，

∴DQ=1，

∵tan∠KBP==，

∴PK=，DK=，

∵DG∥PB，

∴=，

∴=，

∴DG=，

故答案为1，．

（2）当t=0时，DG=PD=，

点Q到达点G时：t﹣2=﹣t，解得t=，

∴t=s时，点Q到达点G．

（3）①当点Q在PD上时，即0＜t≤2时，△QPC是直角三角形（∠QPC=90°）

②如图2中，当点Q在线段DE上时，作QH⊥PC于H．

当∠PQC=90°时，△QHP∽△CHQ，

可得QH2=PHHC，

∴22=（t﹣2）（8﹣t﹣t+2），

解得t=3或4，

∴t=3或4时，∠PQC=90°，

综上所述，当0＜t≤2或t=3或t=4时，△PCQ是直角三角形．