Question

27、如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线MN交AC于N，交AC的平行线BM于M，PD⊥MN，交AB于点P，连接PM、PN．
（1）求证：BM=CN；
（2）请你判断BP+CN与PN的在数量上有何关系，并说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件容易证明△BDM≌△CDN，利用全等三角形的性质就可以解决问题；
（2）根据（1）知道MD=ND，CN=BM，而PD⊥MN，容易得到PM=PN，再根据三角形的三边的关系可以证明题目的结论．

解答：证明：（1）∵D是BC中点，
∴BD=CD．
∵AC∥BM，
∴∠MBD=∠NCD．
又∠BDM=∠CDN，
∴△BDM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

（2）BP+CN＞PN．
证明：∵△BDM≌△CDN，
∴MD=ND．
∵PD⊥MN，
∴PM=PN．
在△BMP中，BP+BM＞PM，
∵BM=CN，PM=PN，
∴BP+CN＞PN．

点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形的判定与性质和三角形的三边的关系结合起来，综合利用它们解决题目的问题．