Question

已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAD；
（2）猜想AB、AD、AF三条线段的数量关系，说明理由．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）连接OC，如图1，根据切线的性质得OC⊥DE，而AD⊥EC，则OC∥AD，理由平行线的性质得∠OCA=∠DAC，加上∠OCA=∠OAC，所以∠OAC=∠DAC；
（2）连接CF、BC，BC的延长线交AD的延长线交于G，如图2，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB=90°，加上AC平分∠EAD，则可判断△ABG是等腰三角形，则AB=AG，CB=CG，利用∠BAC=∠FAC得到CB=CF，则CF=CG，而CD⊥FG，又可判断△FCG是等腰三角形，得到DF=DG，于是有AB+AF=AG+AF=AD+DG+AD-DF=2AD．

解答：（1）证明：连接OC，如图1，
∵DE切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥EC，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠EAD；
（2）解：AB+AF=2AD．理由如下：
连接CF、BC，BC的延长线交AD的延长线交于G，如图2，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BG，
∵AC平分∠EAD，
∴△ABG是等腰三角形，
∴AB=AG=AF+FG，CB=CG，
∵∠BAC=∠FAC，
∴CB=CF，
∴CF=CG，
而CD⊥FG，
∴△FCG是等腰三角形
∴DF=DG，
∴AB+AF=AG+AF=AD+DG+AD-DF=2AD．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质．