Question

设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）若

1

x1

+

1

x2

=1，求

1

3-2m

的值；
（2）求

mx1

1-x1

+

mx2

1-x2

-m²的最大值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式,二次函数的最值

专题：代数综合题

分析：（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值；
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．

解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=4（m-2）²-4（m²-3m+3）=-4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：-1≤m＜1．

（1）∵x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

-2(m-2)

m2-3m+3

=1
解得：m₁=

1- 5

2

，m₂=

1+ 5

2

（不合题意，舍去）
∴

1

3-2m

=

5

-2．

（2）

mx1

1-x1

+

mx2

1-x2

-m²
=

m(x1+x2)-2mx1x2

1-(x1+x2)+x1x2

-m²
=-2（m-1）-m²
=-（m+1）²+3．
当m=-1时，最大值为3．

点评：此题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式△=b²-4ac来求出m的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．