Question

如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=6，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积；
（3）若EC=9-m，BF=m-1（1＜m＜9），求菱形BCFE面积的最大值．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以四边形BCFE是菱形；
（2）∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为6，求出菱形的高面积就可求；
（3）由菱形的面积=

1

2

EC•BF列出函数关系式，利用配方法求得二次函数最值即可．

解答：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且BC=2DE，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE=FE，
∴四边形BCFE是菱形；

（2）解：∵∠BCF=120°，
∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为6，高为3

3

，
∴菱形的面积为6×3

3

=18

3

；

（3）解：设菱形BCFE面积为S，则
S=

1

2

EC•BF=

1

2

（9-m）（m-1）=-

1

2

（m-5）²+8．
∵该抛物线的开口方向向下，且1＜m＜9，
∴当m=5时，该抛物线的最大值是8．
答：菱形BCFE面积的最大值是8．

点评：本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．