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【题目】已知,矩形ABCD中,AB=4cmBC=8cmAC的垂直平分线EF分别交ADBC与点EF,垂足为O

1)如图1,连接AFCE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;

2)如图2,动点PQ分别从AC两点同时出发,沿△AFB△CDE各边匀速运动一周,即点PA→F→B→A停止,点QC→D→E→C停止,在运动过程中,已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当ACPQ四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.

【答案】1)证明见解析,AF=5cm;(2t=秒.

【解析】试题分析:(1)根据全等推出OE=OF,得出平行四边形AFCE,根据菱形判定推出即可,根据菱形性质得出AF=CF,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可;

2)分情况讨论可知,当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,根据平行四边形的性质列出方程求解即可.

1)证明:四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC

∴∠EAO=∠FCO

∵AC的垂直平分线EF

∴OA=OC

△AOE△COF中,

∴△AOE≌△COFASA),

∴OE=OF

∵OA=OC

四边形AFCE是平行四边形,

∵EF⊥AC

四边形AFCE是菱形.

∴AF=FC

AF=xcm

CF=xcmBF=8﹣xcm

四边形ABCD是矩形,

∴∠B=90°

Rt△ABF中,

由勾股定理得:42+8﹣x2=x2

解得x=5,即AF=5cm

2)显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时ACPQ四点不可能构成平行四边形;

同理P点在AB上时,Q点在DECE上或PBFQCD时不构成平行四边形,也不能构成平行四边形.

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,

ACPQ四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA

P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,

∴PC=5tQA=12﹣4t

∴5t=12﹣4t

解得t=

ACPQ四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒.

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