【题目】已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC与点E、F,垂足为O.
(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止,在运动过程中,已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
【答案】(1)证明见解析,AF=5cm;(2)t=秒.
【解析】试题分析:(1)根据全等推出OE=OF,得出平行四边形AFCE,根据菱形判定推出即可,根据菱形性质得出AF=CF,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可;
(2)分情况讨论可知,当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,根据平行四边形的性质列出方程求解即可.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,
∵AC的垂直平分线EF,
∴OA=OC,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,
∵OA=OC,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE是菱形.
∴AF=FC,
设AF=xcm,
则CF=xcm,BF=(8﹣x)cm,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
∴在Rt△ABF中,
由勾股定理得:42+(8﹣x)2=x2,
解得x=5,即AF=5cm;
(2)显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上或P在BF,Q在CD时不构成平行四边形,也不能构成平行四边形.
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,
∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,
∴PC=5t,QA=12﹣4t,
∴5t=12﹣4t,
解得t=.
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒.
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【题目】如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F,
(1)的值为 ;
(2)求证:AE=EP;
(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】五一假期,黄石市退出了东方山休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、佛教文化体验等精品文化活动,共接待旅游总人数9 608 00人次,将9 608 00用科学记数法表示为( )
A. 9608×102 B. 960.8×103 C. 96.08×104 D. 9.608×105
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【题目】甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差统计如表:
选手 | 甲 | 乙 | 丙 |
平均数 | 9.3 | 9.3 | 9.3 |
方差 | 0.026 | a | 0.032 |
已知乙是成绩最稳定的选手,且乙的10次射击成绩不都一样,则a的值可能是( )
A. 0B. 0.020C. 0.030D. 0.035
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【题目】如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.
(1)求证:四边形DBFE是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?为什么?
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