Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{9}{2}$交y轴于点E，C为抛物线的顶点，直线AD：y=kx+b（k＞0）与抛物线相交于A，D两点（点D在点A的下方）．
（1）当k=2，b=-3$\frac{1}{2}$时，求A，D两点坐标；
（2）当b=2-3k时，直线AD交抛物线的对称轴于点P，交线段CE于点F，求$\frac{PF}{DF}$的最小值；
（3）当b=0时，若B是抛物线上点A的对称点，直线BD交对称轴于点M，求证：PC=CM．

Answer 1

分析 （1）将两函数解析式联立即可组成方程组，解方程组即可；
（2）设D（t，$\frac{1}{2}$t²-3t+$\frac{9}{2}$），N（t，-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{2}$），得出ND=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，即可求出最大值；
（3）设点A、D的坐标分别为A（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），设P、M的坐标分别为P（3，n），M（3，m），连接AB交PC于点H，过点D作DG∥x轴交PC于点G，如图2，则DG∥AB∥x轴，得到方程②③④，将②、③、④代入①中，得m=-3k即可．

解答 解：（1）当k=2，b=-3$\frac{1}{2}$时，直线方程化为y=2x-3$\frac{1}{2}$，
联立两方程可得$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+\frac{9}{2}\\ y=2x-\frac{7}{2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=\frac{25}{2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$；
可知，A（8，$\frac{25}{2}$），D（2，$\frac{1}{2}$）．
（2）∵y=$\frac{1}{2}$（x-3）²，
∴点P的横坐标为3，
当x=3，b=2-3k时，y=2，
∴点P的坐标为（3，2），
∵CE的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
过点D作DN∥PC交CE于点N，如图1，
∴$\frac{PF}{DF}$=$\frac{PC}{ND}$=$\frac{2}{ND}$，
设D（t，$\frac{1}{2}$t²-3t+$\frac{9}{2}$），N（t，-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{2}$），
∴ND=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，ND的最大值为$\frac{9}{8}$．
∴$\frac{PF}{DF}$的最小值为$\frac{16}{9}$．
（3）设点A、D的坐标分别为A（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），设P、M的坐标分别为P（3，n），
M（3，m），
∵点A、D在直线y=kx与抛物线的交点，
∴kx₁=$\frac{1}{2}$x₁²-3x₁+$\frac{9}{2}$，kx₂=$\frac{1}{2}$x₂²-3x₂+$\frac{9}{2}$，
∴x₁、x₂是方程$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{9}{2}$=0的两根．
∴x₁+x₂=6+2k，x₁x₂=9，
连接AB交PC于点H，过点D作DG∥x轴交PC于点G，如图2，
则DG∥AB∥x轴，
∴$\frac{DG}{BH}$=$\frac{MG}{MH}$，$\frac{DG}{AH}$=$\frac{PG}{PH}$，
∵BH=AH，
∴$\frac{MG}{MH}$=$\frac{PG}{PH}$，
即$\frac{{y}_{2}-m}{{y}_{1}-m}$=$\frac{n-{y}_{2}}{{y}_{1}-n}$，
∴（y₂-m）（y₁-n）=（y₁-m）（n-y₂），
整理得2y₁y₂+2mn=（y₁+y₂）（m+n）①，
∵x₁+x₂=6+2k，x₁x₂=9，
∴y₁y₂=k²x₁x₂=9k²②，y₁+y₂=6k+2k²③，
∵点P（3，n）在直线y=kx上，
∴n=3k④，
将②、③、④代入①中，得m=-3k，
∵定点C的坐标为（3，0），
∴PC=MC．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）要根据解析式组成的方程组的解是交点坐标解答；（2）要转化为二次函数最值问题解答；（3）根据平行线分线段成比例定理等知识解答，难度较大．